VÚGTK 15 937

[Primenenije ekvivalentnogo izobraženija ellipsoida na šare dlja opredelenija plo-ščaděj territorij

A.V.Vinogradov. - In: Geod. I Kartogr. - ISSN 0016-7126. - Roč.86, č.6 (2010), s.8-11: 1 tab., 3 obr. - Res.rus. a angl. - Lit.7.

Abstrakt: Je studována možnost výpočtu plochy části zemského povrchu na ploše koule ekviva-lentní k referenčnímu elipsoidu. Je ukázáno, že získané výsledky výpočtů na kouli jsou totožné s výsledky na elipsoidu, ale vyžadují menší objem výpočetních prací. Dále je ukázáno, že v řadě případů jsou nepřesnosti ve výpočtu ploch na ekvivalentní kouli menší než na elipsoidu.

Předpokládá se, že od roku 2012 bude v Rusku veden katastr nemovitostí na elektronických nosičích. Získané údaje budou součástí jednotného federálního informačního systému. Jednou z hlavních charakteristik pozemku je jeho plocha, která je podle zákona definována jako „plocha geometrického obrazce, tvořeného projekcí hranic pozemku do horizontální roviny“. Plocha se počítá ze souřadnic lomových bodů hranic pozemku. Rozdíl mezi vypočtenou plochou a plochou uvedenou ve stávajícím operátu nesmí převyšovat dovolenou odchylku. V případě, že rozdíl je v dopustných mezích, zapíše se výsledná plocha do operátu zaokrouhlená na celý čtvereční metr.

Výpočet plochy pozemku na horizontální rovině je snadný a výsledek bude nejlépe vystihovat reálnou plochu. Změření plochy pozemku s přesností lepší než 1 m2 představuje složitou úlohu, i když vedení údajů v katastru s takovou přesností je možné. Splnění takových požadavků na ve-dení katastru je možné při splnění určitých pravidel a metodiky. Při výpočtu plochy značně vel-kých pozemků a celých oblastí je nutné provést výpočet plochy na elipsoidu, který z globálního hlediska představuje horizontální plochu pro pozemky libovolných rozměrů.

Základními souřadnicovými čarami na elipsoidu jsou oblouky meridiánů a rovnoběžek. Dosa-žení přesnosti výpočtu plochy na 0,01 m2 je založeno na mnohonásobném dělení hraniční čáry 1-2 (obr.1) na stejné elementární části oblouku. Při výpočtu plochy na elipsoidu vznikají v některých případech určité potíže, které mohou nepříznivě ovlivnit získaný výsledek. Nejnepří-znivější případ vzniká, když spojnice protíná poledník pod pravým úhlem. Průsečík poledníku geodetickou čarou pod pravým úhlem se nazývá vrcholový bod (bod 3 na obr.1). Leží-li vrcholový bod uprostřed čáry, nebude mít vliv na výpočet. V opačném případě bude část plochy vynechána. Chyby výpočtu plochy při délce čar přes 1 km budou větší než 1 m2. Pro odstranění těchto chyb použili autoři způsob ekvivalentního zobrazení elipsoidu na kouli.

V našem případě se nebudeme omezovat velikostí území. Pro celkové zobrazení elipsoidu na kouli je nutné splnění následujících podmínek:
délky na elipsoidu odpovídají délkám na kouli , tj. L = ?;
rovník elipsoidu je zobrazen jako rovník koule (při B = 0 ? = ?0);
pól elipsoidu je zobrazen jako pól koule.


Poloměr koule o stejném povrchu (při B = 90°) je dán vztahem

R = b ( 1 + (2/3)e2 + (3/5)e4 + (4/7)e6 + (5/9)e8 + …)1/2 ,

kde e je první excentricita. Pro elipsoid Krasovského je R = 6 371 116,079 m. Matematická zá-vislost šířky na kouli ? a geodetickou šířkou B má tvar

Pro výpočet plochy byla přijata soustava sférických souřadnic. Za výchozí byly zvoleny rovina rovníku, nultého poledníku a pól (obr.2). Pro každý lomový bod hranice byly zjištěny souřadnice ? i a i . Položíme-li počátek do pólu P, vypočteme plochy trojúhelníků ABP, BCP,CDP, DAP a dostaneme plochu celkového obrazce ze vztahu

kde R je poloměr koule, ?i , ? i sférická šířka a délka hraničního bodu, n je počet lomových bo-dů.

Protože za počátek byl vzat pól koule a plocha je počítána ze sférických trojúhelníků tvořených oblouky hlavních řezů, nemá vrcholový bod vliv na konečný výsledek. Pro výpočet plochy pozemku na ekvivalentní kouli použijeme stejný způsob dělení čar na stejné oblouky. Chyby vý-počtu plochy se znatelně zmenší. Souhlas výsledků výpočtu na kouli uvedeným způsobem je lepší nebo alespoň stejný jako výpočet na elipsoidu. Uvedeným způsobem je možné provádět výpočet ploch libovolných pozemků nacházejících se v libovolných místech zeměkoule.

Pro zvýšení rychlosti a přesnosti výpočtů byl sestaven program v jazyce Turbo Pascal. Analýza výpočtů ukazuje, že výsledky získané na ekvivalentní kouli jsou už v první iteraci přesnější než na ploše elipsoidu. V experimentálních příkladech byly délky stran od 60 do 90 km.

Při zmenšení stran pod 10 km bude chyba ve výpočtu pozemku libovolného tvaru na ploše ekvi-valentní koule po rozdělení čáry na dvě lepší než 0,01 m2. Závěrem lze konstatovat, že výpočet plochy na ekvivalentní kouli uvedeným způsobem dává dobré výsledky už při rozdělení čáry na dva úseky.

Obr.1 Vrcholový bod

Obr.2 Schéma pozemku na kouli