Novinky zeměměřické knihovny č. 4/2006

Klíčová slova: GPS, Vondrák, filtrace, validace. multipath, cross-validation, CVVF

       Abstrakt:  Rušení multipathem (vícecestným šířením signálu) je jedním z hlavních zdrojů chyb při vysoce přesných měřeních GPS. Pro oddělení signálu od šumu v časových řadách a pro omezení vlivu multipathu je navržena nová metoda. Jejím základem je Vondrákova filtrace          a technika křížové validace (cross-validation). Metoda byla ověřována na simulovaných i reál-ných datech (k tomu je v originále snímek GPS antény v blízkosti velkého válcového objektu), výsledky jsou znázorněny grafy časových řad.

       Poznámka: Tento zkrácený překlad reprodukuje pouze zdůvodnění a základní myšlenky práce. Proto jsou vypuštěny ilustrační tabulky, obrázek observační situace experimentu a roz-sáhlé grafy časových řad, i s jejich rozbory, z nichž se podle potřeby přebírají jen závěry. - V dal-ším textu jsou kurzívou dány poznámky a komentáře překladatele.

1     Úvod

       Měření GPS jsou kontaminována řadou různých chyb. Naštěstí, při krátkých základnách (např. pod 1 km), může být řada chyb, jako jsou chyby hodin satelitů a přijímačů, eliminována při formování dvojně diferencovaných observací. Také chyby závisející na vzdálenosti (ionosférická a troposférická refrakce a zpoždění, dráhové chyby), které jsou silně korelované mezi přijímači, se při dvojném diferencování měření velkou měrou vyloučí. Nicméně, některé další chyby, jako je vícecestné šíření (multipath), nemohou být diferencováním odstraněny, a nadále ovlivňují určování polohy pomocí GPS. Multipath je jev, kdy signál přichází na anténu přijímače dvěma nebo více rozdílnými cestami, čímž degraduje přesnost jak kódových, tak i fázových měření.

       Efekty multipathu mohu být ve značné míře utlumeny použitím Choke-Ring antén a pečlivou volbou stanoviště pro měření, kde nejsou v blízkosti potenciální reflektory schopné odrážet signál. Rovněž pokroky v algoritmech pro zpracování přijímaných dat vedly k vytvoření tzv. „multipath-odolných“ přijímačů. Existuje řada navržených technologií, vyjmenovaných (s odkazy na prameny) na tomto místě článku - kupodivu však bez přijímačů, v nichž by byly uplatněny. Nicméně, přes tyto snahy, zbytkové efekty multipathu dosahují stále několika centimetrů v po-lohách, a jsou stále významné v řadě přesných aplikací GPS, kde požadavky na přesnost jsou často na úrovni milimetrů.

       Rovněž některé techniky zpracování dat (post processingu) byly vyvinuty tak, aby redukovaly efekty multipathu. Např. jedna z nich „mapuje“ okolí antény a odvozuje korekce pro každý přijímaný signál v závislosti na azimutu a výšce satelitu. Jiná vychází z analýzy poměru signálu k šumu. Navíc se uplatňuje stále více přístupů pro extrakci nebo vyloučení efektů multipathu, založených na filtraci dat, jako pásmové filtry odezvy konečného impulsu (FIR - finite impulse response), vlnkové filtry (WF - wavelet filter) a adaptivní filtry (ke všem jsou uvedeni autoři a publikace). Pro většinu filtračních technik je však často obtížné rozlišit mezi vícecestným signálem a aktuálním pohybem antény, zejména když signál má tendenci se měnit ve stejném kmitočtovém rozsahu jako pohyby antény.

       V přesných aplikacích GPS, jako je monitorování deformací, se geometrie poloh satelitů, odrazných ploch a antény obvykle málo mění mezi sousedními hvězdnými dny (kdy se v daném místě opakuje poloha družic). Tedy i podmínky multipathu se převážně opakují, kromě např. vlivu změn vlhkosti odrazných povrchů nebo když se mění dráhy družic. Tento princip je dále využit v předkládané metodě, v níž Vondrákův filtr (VF - 1977), kombinovaný s křížovou validací  (cross-validation, CV) slouží k extrakci „signálu“ multipathu, který se pak uplatní při korigování GPS observací. Vondrákův filtr umí dobře vyhladit observační data bez znalosti funkční závislosti jejich průběhu. Kombinace VF s metodou CV umožňuje udržení rovnováhy mezi přizpůsobením a vyhlazováním dat v průběhu procesu filtrace.

2     Vondrákův filtr

       Řada observačních dat může být vyjádřena jako (x_i , y_i), i = 1, 2, ... N, kde x_i a y_i jsou epochy měření a měřené hodnoty. Základní myšlenka Vondrákova filtru spočívá v odvození filtrovaných hodnot za podmínky

Q = F + l²S ® min,   v níž                                                                                                    (1)

F =  p_i ( y_i´ - y_i )² ,                                                                                                        (2)

S =  _{D³ yi´ )²  ,                                                                                                             (3)}

kde y_i´ je filtrovaná hodnota odpovídající měření y_i ,  p_i  váha měření y_i , D³ y_i´  třetí diference filtrovaných hodnot, počítaná na základě kubického Lagrangeova polynomu, a l² je bezrozměrný kladný koeficient určující stupeň filtrace nebo hlazení filtrované řady dat.

       Při hledání řešení je kubický Lagrangeův polynom vyhlazen pro čtyři sousední body (s hod-notami x, y´) když uvažujeme dvojici vnitřních bodů. Na základě vztahu (1) se formuje soustava lineárních rovnic pro nalezení filtrovaných hodnot.

       Jsou-li koeficienty  l² ® ¥ ,  S ® 0  a  F ® min., bude odvozena vyhlazená parabola, a ope-race se nazývá „absolutní hlazení“(absolute smoothing).  Je-li  l² ® 0 ,  F  ® 0  filtrované hodnoty sledují hrubou křivku a operace se nazývá „absolutní přizpůsobení“(absolute fitting). Hodnotu  e = 1/l²  zde lze nazvat faktorem hlazení.

       Hlavní předností Vondrákova filtru je, že nevyžaduje žádný předem zadaný funkční průběh zkoumané veličiny a že filtrované hodnoty lze spočítat i na okrajích řady dat. Nadto je metoda je použitelná při datech se stejnými i nepravidelnými intervaly.

3     Křížová validace (cross-validation)

       Hlavním smyslem filtrace je náležitě oddělit signál od šumu. Klíčovou otázkou při užití Vondrákova filtru je volba faktoru hlazení e  tak, aby se odstranil náhodný šum a zůstaly užitečné signály. V této práci se pro volbu faktoru hlazení užívá křížová validace (cross-validation).

       Základní myšlenkou je zde křížová validace filtrovaných výsledků se vzorky dat. Nejprve se řada pozorování (x_i , y_i ),  i = 1, 2, ... N  náhodně rozdělí na dva vzorky: filtrovaná řada (rozměr řady = N₁ ),  (x_{1, i} , y_{1, i} ),  i = 1, 2, ... N₁  a validační řada (rozměr řady = N₂ ),  (x_{2, i} , y_{2, i} ),  i = 1, 2, ... N₂ . (Zde by se hodila zmínka o algoritmu pro náhodné rozdělování pozorovacích dat.) Užijeme označení  P_i  pro i-té rozdělení měření. Za druhé: Vondrákovou  filtrací se spočtou hodnoty filtrované řady se zadaným faktorem hlazení  e . Nyní se vypočte variance validační řady vzhledem k hlazené

C(e , P) = (1/ N₂ ) [y_{2, i} - f¢ (x_{2 , i} )]²                                                                              (4)

kde f¢ (x_{2 , i} )  jsou hodnoty odvozené interpolací kubickými spliny pro epochy  (x_{2 , i} ) .  Předpokládejme užití K různých faktorů hlazení e_k , e_k = 10^-k , k = 1, 2, ... K . Pro každý z faktorů se měřená data rozdělí na vzorky M  způsoby, které označíme P_j , j = 1, 2, ... M . Takže může být získáno M variancí C(e , P) pro každý faktor hlazení. Nakonec lze spočítat střední hodnotu variancí pro každý faktor hlazení

(e_{k ,} P) = (1/ M ) C(e_k , P_j) .                                                                                      (5)

Hodnota  e_k,  pro kterou je (e_{k ,} P) minimální, se považuje za optimální faktor hlazení.

       Velikost validační řady (vzorku) v následující části práce bude pouze 5 % velikosti celé datové řady, aby se nedegradovalo rozlišení a zachovaly vysokofrekvenční signály v datech. Počet dělení je v zájmu statistické významnosti výsledků M = 40. Kromě toho jsme pro CV vybírali asi 70 % dat ve středu řad, aby se předešlo horším výsledkům filtrace u jejich konců.

       Pro pohodlí odkazů budeme nadále nazývat navržený Vondrákův filtr s optimálním faktorem hlazení, určeným křížovou validací, jako „cross-validation Vondrak filter“ (CVVF). - Další části pojednání podáme pouze ve stručných souhrnech.

4     Simulační studie

       Simulovaná testovací data byla generována jako součet observačního signálu a Gau-ssovského bílého šumu s normálním rozdělením. Signál byl tvořen třemi sinusovými vlnami s pe-riodami 300 s, 150 s a 40 s, představujícími vlnové délky multipathu, plus modulačním signálem s periodou 1200 s, přidaným k sinusovce o periodě 300 s. Vzorkovací interval byl 2 s                    a velikost vzorku 2000. Simulace se konaly pro různé úrovně šumu a vždy ukázaly dobrou funkci metody CVVF pro stanovení optimálního faktoru hlazení i pro vyčlenění časově proměnného signálu z šumu (argumentace s analýzou grafů v originálu článku je dosti složitá).

5     Zmírnění efektů GPS multipathu metodou CVVF - reálná data

       GPS měření se v našem experimentu konala na střeše polytechniky v Hongkongu, a to dvěmi dvoufrekvenčními přijímači (Leica System SR530 s anténami AT-502), na základně kolem 86 m po dobu tří dnů v březnu 2004. V blízkosti přijímačů je více ploch silně odrážejících signál GPS.

       Data se zpracovávala v kinematickém modu pro řešení poloh pohyblivého stanoviska v kaž-dé epoše. První den byly obě antény v klidu, další dva dny se se (jedna) anténa motoricky pohybovala (pouze ve vodorovném směru) s různými kmitočty (0,06 Hz - 0,1 Hz) a amplitudami (10 mm - 40 mm). I analýza výsledků z reálných dat, s řadou grafů a několika tabulkami, je dosti složitá a zdlouhavá.

       Metodou CVVF odvozené optimální faktory hlazení pro první den byly ve vodorovných směrech 1.0e-6, pro druhý a třetí den 1.0e-5 a 1.0e-4; ve svislém směru 1.0e-7 pro první a 1.0e-5 stejně pro další dny. Po zavedení přesných modelů multipathu, odvozených z prvního dne, se snížily střední chyby poloh, určovaných ve druhém a třetím dnu o ca 20-40%. (Asi by nás ještě zajímalo, jak se ten model odvozuje a zavádí - což je patrně třeba hledat v autory citované literatuře.)

6     Závěr a diskuse

       Metoda CVVF, založená na křížové validaci a Vondrákovu numerickém filtru byla užita pro zmírnění efektů multipathu v měření GPS. Na základě provedené studie lze učinit následující závěry:

(1)    Navržená metoda CVVF je efektivním dekompozitorem signálu. Lze ji využít pro oddělení signálu a šumu v datových řadách, kde úroveň šumu je menší než úroveň signálu. V opačném případě mají signály vysoké frekvence tendenci k odfiltrování spolu s šumem.

(2)    Metoda CVVF pracuje dobře na datových řadách s rozdílnými úrovněmi šumu a rozdílnými kmitočty v různých úsecích řady.

(3)    Větší faktor hlazení dává hrubší filtrovanou křivku a v datové řadě zůstává více vysokofrekvenčních signálů.

(4)    Pomocí metody CVVF lze odvodit spolehlivé modely multipathu pro řady souřadnic bodů. Modely lze použít k redukci těchto efektů s uvážením výhody opakování charakteristik GPS multipathu po hvězdném dnu.

(5)    Výsledky testů ukázaly, že metoda může zlepšit přesnost GPS o 20-40%.

Závěrečná poznámka překladatele: Ani originál článku nepodává úplný návod na realizaci naznačené metody, a zdá se, že ani v citované literatuře není odkaz např. na existující programové řešení. Podáváme ji jako ilustraci k jednomu z problémů zpracování GPS dat - a ta-ké jako zajímavou ukázku, jaké nové uplatnění nalezla československá metoda Jana Vondráka      z roku 1977 v rukou čtyř čínských autorů.