staženo z Internetu

[Revision of the physical backgrounds of Earth´s rotation]]

/ Lajos Völgyesi. - In: XXIII General Assembly of the International Union of Geodesy and Geophysics, June 30 ‑ July 11, 2003, Sapporo, Japan. - Dostupné na www: http://sci.fgt.bme.hu/volgyesi/forgas/forgas_e2.pdf

Přeložil J. Rambousek (zkráceno)
Zdiby : VÚGTK, 2005. - 7 s.

Klíčová slova: rotace Země, orientace Země, pohyb pólů, gyroskopy, precese, nutace

1. Těžké a volné gyroskopy

Vlivem momentu otáčení působícímu na centrum tíže vykonávají těžké gyroskopy precesní pohyb podél své osy souměrnosti v případě, že jejich úhlová rychlost ωˉ se posunuje po povrchu kužele úhlovou rychlostí precese ωˉ_pr mnohem menší než ωˉ. Volné gyroskopy se liší tím, že moment otáčení vzhledem ke svému středu tíže je nulový, jsou upevněny ve svém středu tíže. Nejsou‑li ztotožněny osa souměrnosti a osa rotace, pak dochází k nutačnímu pohybu ωˉ_nu, a tehdy je jeho rychlost je mnohem menší než ωˉ.

1. 1. Pohyb těžkého gyroskopu

Pevné těleso se snaží během svého pohybu zachovávat své otáčení vzhledem ke své ose setrvačnosti, tedy úhlový moment N je dN/dt = 0 (1) a působí‑li vnější síly, pak je úhlový moment rovný momentu otáčení d N /dt = M (2). Vektor momentu otáčení je výsledkem síly F působící na rameno páky r, tedy M = [F × r], úhlový moment je N = I ωˉ. Protože I je konstantní pro tuhé těleso, lze I předsunout a psát (2) jako

Obr. 1. Pohyb těžkého a volného gyroskopu

        dωˉ
I---- = [F×r] (3)
       dt

Vektor úhlové rychlosti dostatečně rychle se otáčejících těles se neustále mění a je kolmý ke směrům F a r. V souladu s tím lze v levé části obrázku 1 vidět dětskou hračku vlčka, jejíž rotační osa opisuje dráhu po povrchu kruhového kužele se svislou osou. Pohyb rotační osy gyroskopu je precese.

2. Pohyb symetrických gyroskopů

Naším úkolem je popsat pohyb symetrického gyroskopu v soustavě K´. Při tom se vychází z principu zachování energie. Součet rotační a potenciální energie mgs cos θ podle obrázku 2 je konstantní

Aω_x́² + Aω_ý²+ Cω_ź² ) + mgs cos θ = konst. (4)

Mimo to lze podle obr. 2 vidět, že vektor otáčivého momentu M je kolmý jak k ose z, tak i z´. Jsou tedy složky M k oběma osám nulové, tj.

M_z = 0 ….. (5)

a

M_z´= 0 ..... (6)

a z toho plynou důležité vztahy z Eulerových rovnic (7)

   dω_x́
A----- + (C-B) ω_y ω_{z =} M_x΄
   dt

   dω_ý
B----- + (A-C) ω_x ω_{z =} M_y΄ (7)
   dt

   dω_ź
C----- + (B-A) ω_x ω_{y =} M_z΄    dt

Spolu s (6) a symetrickému vyrovnání momentů setrvačnosti A=B v rovině kolmé k rotační ose

   dω_ź
C----- ₌ 0
   dt

a protože C není rovno 0 plyne

ω_z´    =_́ ω_z´0 =all          (8)

Současně podle (5) a (2) při zachování úhlového momentu N_z = konst a to ústí do dvou složek podle směrů souřadnic K´ podle obr. (2)

N_z=N_x´cos(x´,z) + N_y´cos(y´,z) + N_z´cos(z´,z) = konst.

Protože  N_x´=A ω_x´, N_y´= A ω_y´   N_z´=Cω_z´

lze psát

N_z= A ω_x´cos(x´,z) + A ω_y´,_´cos(y´,z) + Cω_z´cos(z´,z) = konst           (9).

Zde uváděné směrové kosiny lze vyjádřit úhly Eulerovského typu, což je uvedeno v tabulce I.

Příslušné směrové kosiny v rovnici (9) z tabulky I jsou pak rovnicí (10):

Protože složky úhlové rychlosti vektoru ωˉ v souřadnicové soustavě K´ rotující s tělesem lze vyjádřit úhly Eulerovského typu rovnicemi (11)

a úpravou (Landau-Lifšic, 1974) v soustavě rovnic (12)

a náhradou složek úhlové rychlosti v rovnicích {4], (8] a (10] za Eulerovy úhly (12),

kde hodnota const v první rovnici již obsahuje Cω¯² _z´0 . Vytváří se tak soustava tří diferenciálních rovnic prvního řádu a neznámé θ(t), ψ(t), φ(t) lze určit numerickou integrací. Pohyb je popsán v soustavě K, která je umístěna pevně v prostoru. Pro řešení soustavy rovnic (12) třeba zvolit vhodné počáteční podmínky, např. osu symetrie těžkého gyroskopu pod úhlem θ ₀ se svislou osou a úhlovou rotační rychlost ω_z´0   výlučně podél osy souměrnosti

Vyhovující přibližné řešení pro dostatečně rychle se otáčející gyroskopy podal (Budo, 1964)

a zavede-li se průměrná úhlová rychlost

	(15)
	(16)
	(17)

Obr. 3 Nutační pohyb v souřadnicové soustavě pevně spojené s rotujícím tělesem

Když využijeme vztahu

a integrujeme pro t = 0   a ψ = ψ _0í

a nakonec z druhé rovnice (13) vložením (18)

4. Nutace volných gyroskopů

Pro případ volného symetrického gyroskopu za podmínek A = B; M_x´=M_y´=M_z´=0 platí pro soustavu K´(x´,y´, z´) otáčející se spolu s tělesem

kde

je lineární funkcí v čase, tedy vektor ω¯ se pohybuje podél osy z¯ v souřadnicové soustavě vázané na hmotu tělesa (na osu souměrnosti).

Zatímco při nutačním pohybu, jak lze vidět na obrázku 3, opisuje koncový bod vektoru ω¯ kruhový pohyb podél osy z¯ s konstantní úhlovou rychlostí a poloměru

vektor rotační rychlosti se pohybuje po povrchu kužele, jehož vrchol je

okolo souřadnicové osy z´, která je totožná j hlavní osou inercie C. Považujeme-li Zemi za symetrické těleso, pak tento posun je volná nutace vzhledem k soustavě K´ pevně svázané se Zemí.

5. Lunisolární precese

Autor pak aplikuje předchozí na gravitační působení Slunce na Zemi (obr. 2) a dochází k luniso-lární precesi (obr. 4).

Obr. 4. Lunisolární precese

6. Planetární precese

Dále probírá vliv planet sluneční soustavy na Zemi, jímž se pozvolna mění vzájemně roviny drah a ekliptika se posunuje v rozmezí 22º a 24,5º s periodou téměř 40 000 let (obr. 5).

	Obr. 5    Planetární precese
	Obr. 6.   Rušivá precese

7. Rušivá precese

Jako důsledek pohybu Měsíce, Slunce a pohybů planet vzhledem k Zemi se mění točivý moment v čase a předávají se krátkoperiodické pohyby běžně nazývané astronomická nutace, dále rušivá precese, kde hlavní složkou je působení Měsíce (obr. 6). Protože rovina dráhy Měsíce a rovina ekliptiky svírají přibližně 5º 9´, putuje uzlová přímka měsíční dráhy s periodou 18,6 let a tak dochází ke změnám středů hmot P1 a P2 vyvolávajícím vlny s proměnlivými amplitudami přibližně 9", a vlnové délky přibližně 15.6´.

Precesní pohyb spolu s hlavní složkou rušivé precese a precesní elipsou ukazuje obr. 7. Autor předkládá své hledisko, že běžně užívaný název nutační elipsa je vlastně nesprávný, protože nemá nic společného s nutací, jak ji definuje v předcházejících kapitolách.

Obr. 7. Precesní elipsa

Shrnutí

Změna v absolutní hodnoty (délka dne) úhlové rychlosti vektoru ωˉ je prvotním důsledkem takzvaného slapového tření způsobeného Měsícem a Sluncem. Změny prostorového směru úhlové rychlosti vektoru ωˉ lze dělit na dvě části: změny způsobené precesním a nutačním pohybem. Dvěma složkami precesního pohybu jsou normální precese lunisolární a precese planetární. Nutační pohyb Země se též skládá ze dvou složek: pohybu pólu a přesunu pólu, při čemž pohyb pólu má další dvě složky, volnou nutaci a nucenou nutaci.

Obr. 8 Variace vektoru úhlové rotační rychlosti Země v čase a prostoru

Z výše uvedených úvah lze jasně vidět, že vzhledem k relativním změnám v polohách Měsíce a Slunce vznikají změny o kratší periodě jako důsledek točivého momentu proměnlivého v čase což nelze nazvat nutací ve fyzikálním smyslu. Vlivem složitého pohybu příslušných nebeských těles točivý moment vyvolávající precesní změny co důsledek vytváří Země spolu rotační osou pevně k ní umístěnou   měnící se precesní pohyb. Když ale naopak nutační pohyb rotační osy Země se spolu se zemskou masou nepohybuje, ale neodvisle na vlivu jakéhokoliv otáčivého momentu zemské masy a její osy souměrnosti odděleně od rotační osy vykonává své vlastní složité pohyby (což je pouze způsobeno skutečností, že rotační osa nezaujímá polohu podél osy souměrnosti). Tedy krátce řečeno mimozemské hmoty vyvolávají precesi, naopak pouze vlastní masa Země (její rozložení hmot) způsobuje nutaci. To je podle autora důvodem, že by bylo nadále rozumné užívat termínu rušivá precese místo zavádějícího termínu astronomická nutace.