VÚGTK K 49 763

[On the Ancient Determination of the Meridian Arc Lenght by Eratosthenes of Kyrene]

Rozměry Země jsou pro topografické a geografické účely krajně významné stejně v moderní době jako byly pro Eratosthena, když stál před úkolem nakreslit mapu "oikuméné". Jeho volba poloměru Země dala výsledek 252 000 stadia. Pokud užil definici stadia 1 stadion = 158,7 m = 300 egyptských král. loktů = 600 jednotek gudea (což je délka měřítka na soše Gudea (2 300 př. Kr.) v pařížském Louvru), pak změřil poledníkový oblouk jako 252 000 . 0,1587 = 40 000 km. Jak mohl získat Eratosthenés v dávnověku již tak přesný výsledek?
Ptolemaios popisuje ve své "Geographiké hyphegesis" metodu užitou "staršími" pro stanovení rozměrů Země; tato dávná metoda měření délky poledníkového oblouku mezi rovnoběžkovými oblouky dvou míst (např. Alexandrie/Syéné, Syéné/Meroe) se zakládá na vedení pořadů, jak se ukáže v dalším.
Zeměpisné šířky se mohou měřit přístrojem pro měření stínu "skiotheron". Ukážeme a vysvětlíme přístroj rekonstruovaný podle starých údajů; přesnost slunečních pozorování s pří-strojem tohoto druhu je srovnatelná s moderním sextantem.
Ukáže se obnova dvou systémů starých geografických stadií (alexandrijské a řecké). V sou-časné době se využívají k rektifikaci digitalizovaných map daných v Ptolemaiově "Geographiké hyphegesis". Definice stadia užitá Eratosthenem (1 poledníkový oblouk = 700 stadií) se aplikoval také pro severní a západní Evropu a v Asii na východ od řeky Tigrid; při použití jako měřítkového násobku jsme pro rektifikaci získali velmi dobré výsledky.

Jak se velmi často konstatuje ve staré literatuře, získal Eratosthenés, co výsledek svého určování délky poledníkového oblouku Země, hodnotu 252 000 stadií. V moderních dobách došlo k několika vášnivým debatám o délce Eratosthenova stadia, jež se užilo. Otázka navazuje na definici perské míry parasange (což je polovina mezopotánského kaspu) a egyptského schoinos.

Naše znalosti o soustavě nemetrických délkových jednotek (které jsou to jednotky loket/stopa nebo palce/kroky) se z valné části zakládají na nippurském lokti (NC = 518,5 mm; muzeum v Istanbulu), takzvané jednotce gudea (GU = (20/28)(20/28)NC =264,55mm; Louvre v Paříži) jako na římském kroku pes romanus čili "pous romaikos" (pr = 16/28 NC = (28/24)GU = 296,3 mm). Všechny staré metrologické vztahy se řídí velice starou definicí pro remen (pygon): 1 remen = (20/28) královských loktů = (20/24) obchodních loktů = (20/16) "pous".

V Egyptě se přibližně až do roku 2000 př. Kr. užíval (nový) egyptský královský loket (RC = 2 GU = 529,1 mm), který byl těsně spojen s jednotkou gudea. Jestliže stopa užívaná v Římě (palmipes romanus), milet a tši (MF = 6/5 GU = 6/10 RC = 315,5 mm) nazýval Heron "pous philetairikos" (jak se zde předpokládá), potom se podle něho jmenovala jednotka gudea "pous italikos". Velmi pravděpodobně "pous ptolemaikos" (PP = (2/3) RC = 352,7 mm) měl návaznost na královský loket a jednotka stopy užívaná např. při přestavbě Kartága (PC = (5/6) PP = 293,9 mm). Je konečně dobře známo, že jiná jednotka stopy se užila pro Kyrenaiku, vlast Eratosthenovu (FK = 28/24 GE = 308,6 mm); vztah kyrenaiské stopy k římskému kroku 308,6 : 296,3 = 25 : 24 je v klasické literatuře dobře doložen. Více podrobností o dávných systémech nemetrických jednotek podává (Lelgemann 2004).

Tabulky Senkerehovy (Lepsius 1877) nám podávají přesnou definici mezopotámského kaspu (K = 6.60.60 loktů); perská parasange (P = 3.60.60 loktů) byla polovinou kaspu. Jak poznamenal Herodot, dělila se perská parasange obvykle na 30 stadií, 1 stadion = 600 stop. Naskýtá se otázka: jaký druh lokte se užil pro definici kaspu?

Protože se užívalo ve starověku pouze málo jednotek loktů (na rozdíl od bohaté škály jednotek pro stopy), zbývá pouze málo možností pro délku parasange. Daleko nejpravděpodobnější je 1 parasange = 10 800 královských loktů = 5,714 km.

Důsledkem byla pro Herodotův stadion = (1/30) parasange odpovídající jednotka stopy "pous philetairikos" = palmipes romanus/tši), 1 Herodotovo stadion = 600 pous philetairikos = 190,5 m. Těsně s parasange je spojena vztahem 9 : 10 : = 10 800 : 12 000 (ale také k egyptským délkovým jednotkám 1 khet = 100 královských loktů a 1 itr = 200 khet = 20 000 královských loktů) egyptská jednotka schoinos 12 000 královských loktů = 6,349 km.

Eratosthenés podle Plinia užil stadion = (1/40) schoinos to je 300 královských loktů = 600 jednotek gudea = 158,7 m. Podle Anania ze Širaku (kolem roku 600 po Kr.) se pro "měření na Zemi" užívalo vedle "měření ve vzduchu" jiné, větší stadion a obě byla ve vztahu 3 : 4, to znamená, že Ptolemaiovo stadion = 400 královských loktů = 600 pous ptolemaikos = 211,6 m.

A toto bylo stadion = (1/30) schoinos, o němž se zmiňuje Plinius. Také víme z římské literatury, že Eratosthenés užil také stadion italikon = 600 kyrenaiských stop = (28/24) jednotek gudea = 185,2 m. To také vysvětluje poznámku, kterou učinil Strabo, že Eratosthenés rozdělil zemský obvod na "hexakontady". Pravděpodobně starší geografové nikdy neužívali stadion olympicon = 600 pedes romani = (28/25) 600 jednotek gudea = 177,8 m.

V tomto "alexandrijském systému stadií" by se mohla vyjádřit délka poledníkového oblouku = 70.60.60 Eratosthenových stadií = 60.60.60 stadion italicon =(3/4) 70.60.60. stadion ptolemaikos = 40 000 km.

Pravděpodobně užívala škola stoiků jiný systém stadií, který budeme nazývat "řecký systém stadií". Plinius se skutečně zmiňuje též o stadiu = (1/32) schoinos, který užívají "jiní" (snad členové stóy?), který nazvěme "chaldejský" stadion = 375 královských loktů 750 jednotek gudea = 198,4 m. K tomu se úzce váže definice stadia užívaného na Rhodu Poseidoniem a Artemirodem, 1 "rhódský" stadion = (5/6) královských loktů = (25/24) jednotek gudea = 165,3 m, jakož i větší stadion odpovídající vztahu 3 : 4 o délce "foinického" stadia =(10/9) 375 královských loktů = (25/18) 600 jednotek gudea = 220,5 m.

Pro řecké geografy bylo užívání těchto definic pro stadion pro obvod Země jako 250 000 stadií Eratosthenových pohodlnější vzhledem k jednoduchým vztahům: délka poledníku = 240 000 "rhódských" stadií = 200 000 "chaldejských" stadií = 180 000 "foinických" stadií = 39 700 km.

A skutečně stoik Kleomenes se zmiňuje přesně o této hodnotě 250 000 stadií pro obvod Země. (Neříká, že Eratosthenés užil tuto hodnotu, jak se v tomto případě často v moderní literatuře předpokládá.) Klaudios Ptolemaios, pravděpodobně pod vlivem Marina z Tyru, užil ve své "Geographiké hyphegesis" "foinické" stadion, to je 1 obloukový stupeň = 500 stadií. V tomto díle představujícím pro nás hlavní zdroj znalostí geografie helénsko-římského období, publikoval první digitalizovanou mapu v dějinách, protože podal více než osm tisíc zeměpisných délek a šířek pro významná města a pozemní objekty na "oikumené". Jak lze snadno zjistit, je tato mapa značně deformovaná a to zejména vzhledem k chybám v měřítku. Pečlivý rozbor Ptolemaiových polohových údajů ukázal, že pouze překvapivě málo měřítkových násobků je zapotřebí pro její úspěšnou rektifikaci: 500/700, 500/600 a 500/525 (jakož také přibližně 500/900 na velmi malé oblasti Peloponesu v Attice). Tyto empirické měřítkové násobky, jak se odvodily z Ptole-maiových číselných údajů, lze zřejmě vysvětlit různými definicemi stadia: Eratosthenovo stadion (500/700), stadion italikon (500/600) a stadion ptolemaiokos (500/525). Zejména značné části "oikumené" vyžadují mapový násobek 500/700 po celé severní a západní Evropě, na částech Afriky a v celé Asii východně od řeky Tigris.

Zřejmě se Eratosthenovo stadion také mnoho užívalo u jiných dávných geografů, jak nám naznačují číselné údaje předané Ptolemaiem. Zbývá jen důležitá otázka: Jaký druh geodetických metod užili staří geografové pro získání takových přesných map a zejména jaký druh geodetických metod užil Eratosthenés pro měření obvodu Země s přesností, která se dosáhla opět až v moderních dobách okolo roku 1800 po Kr.?

"Metody starých" pro měření zemského obvodu popisuje Klaudios Ptolemaios ve své "Geographiké hyphegesis"; zakládají se na sférické obměně rovinného postupu užívaného "bematisty" čili "mensoribus regios Ptolemai" podobně jako římskými agrimensory. Bematisti určovali vzdálenosti převážně krokováním; zacvičený bematista mohl dosáhnout pro jednotlivou vzdálenost přesnosti jednoho procenta. Odlehlost mezi dvěma body na zemi ovšem znamená, že azimut je pochopitelně stejně důležitý jako vzdálenost. V té době jej bylo možno získat, jak Klaudios Ptolemaios poznamenal ve své "Geographiké hyphegesis", astronomickými metodami. Je dobře známo, že římští agromensores dělili vzdálenost na severojižní složku (zvanou "cardo") a na východo-západní "decimanus" nebo "decumanus". Stará literatura popisuje některé metody pro stanovení směru poledníku užívající Slunce.

Stanovením poledníkového směru pro dané vzdálenosti dává prostým poměrem cardo jako x i decimanus y. (Viz obr. 1.)

Jak Klaudios Ptolemaios vysvětlil, byla "metoda starých" pro měření obvodu Země velice podobná metodě římských agrimensorů, ale místo, aby užila rovinné konstrukce, zakládala se na sféře pro nejvhodnější kuželové zobrazení, jak naznačuje obr. 2. (Knobloch et al. 2003).

Vytvořil pořad podél řeky Nilu mezi Alexandrií a Syenou v Assuánu přidáváním jednotlivých cardo a decimani mnohých mezilehlých vzdáleností, mohl tak získat délku poledníkového oblouku mezi zeměpisnými šířkami Alexandrie a Syené a to jako 5 000 stadií = 793,5 km (atlas Timesů dává 800 km). Jak dnes víme, je přenosová chyba takového postupu velmi příznivá; platí o ní "pravidlo odmocniny ze čtverce" stejně jako pro nivelaci.

Obr. 1: Cardo a decimanus

Jak uvádí Strabo, Eratosthenés odhadl vzdálenost mezi Syené a Středozemním mořem na 5 300 stadia. Z této hodnoty lze zpětně odvodit příslušný decimanus výpočtem 5 300² - 5 000² = 1800² jako hodnotu y = 290 km (atlas Timesů dává 390 km). Takové údaje se dobře shodují s hodnotami v "Geographiké hyphegesis": Alexandria Φ = 31º30', Λ = 60º30', Syené Φ = 23º50', λ =62º00', Meroé Φ = 16º25', λ = 61º30' (Stevenson 1932). Samozřejmě ani v minulosti, ani dnes nelze měřit vzdálenost mezi Syené a Alexandrií přímo, leč zřejmě velice snadno užitím "metody starých". Touž technologií dokázali "mensores regios Ptolemai", jak nám sdělil Martianus Capella, změřit délku poledníkového oblouku mezi rovnoběžkami Syené a Meroé (Bagravia severně od Chartumu); Eratosthenes podle Plinia uvedl zase hodnotu 5 000 stadií =793,5 km (Atlas Timesů: 780 km).

Eratosthenés zřejmě užil pro stanovení zemského obvodu pořadu rozšířeného přibližně k obratníku Raka poblíž Syené, 5 000 stadií severně (Alexandria) a 5 000 stadií na jih (Meroé). Kleomédes v poněkud zjednodušeném popisu metody předpokládá, že Alexandrie a Syené leží na stejném poledníku, ale výslovně praví, že metoda, jíž Eratosthenés užil, byla více geometrické podstaty a mnohem více náročná (čili nesnadná k pochopení).

Obr. 2. "Protilehlé body" a přímky vedené koncovými body A a B

Klaudios Ptolemaios se zmiňuje v "Geographiké hyphegesis" o tom, že se pro stanovení směru poledníku užilo přístroje zvaného "skiotheron" (určovač stínu). Naše rekonstrukce principu skiotheronu se zakládá hlavně na Aristofanově popisu uvedeném v jeho komedii "Ptáci" pro metodu, jíž astronom Meton z Athén užil pro observace Slunce; výsledný návrh je vidět na obr. 3: Pohyblivě umístěný kolem kuželu na kruhové desce v horizontálně-vertikálním nastavení lze pozorovat tangentu zenitové vzdálenosti Slunce na kruhové desce, sama kruhová deska je nastavena do směru poledníku. O zeměpisnou šířku Φ směrem k severnímu pólu (paralaktické nastavení) umožňuje pozorovat tangentu deklinace Slunce δ na druhém pravítku podobně jako pravý sluneční čas τ na kruhové desce. Celkově lze snadno pozorovat takovým druhem jednoduchého astronomicko-geodetického přístroje všechny měřitelné úhly (z, Φ, φ, δ, τ).

Obr. 3: Návrh skiotheronu Obr. 4: Rekonstrukce skiotheronu

Římský agrimensor Hyginus popsal složitou grafickou metodu (analogový počítač) pro vytyčení směru poledníku z libovolných tří pozorování skiotheronem na Slunce během jednoho dne (Lelgemann 2001). Samozřejmě lze užít skiotheron také jako vědecký gnómon pro odhad zeměpisné šířky. To učinil pravděpodobně poprvé Pytheas z Massaly (thulská výprava); zachované jsou jeho velmi přesná "gnómonová data" pro zeměpis-nou šířku Massalie (Marseille v jižní Francii). Jednoduchou myšlenku změřit obvod Země pomocí pozorování zeměpisných šířek a měření poledníkového oblouku pravděpodobně odvodili velmi dávno před Eratosthenem.

Pro odvození zeměpisné šířky Φ ze zenitových vzdáleností z je třeba znát deklinaci Slunce δ a zejména sklon ekliptiky ε s vysokou přesností. Jak poznamenal Klaudios Ptolemaios v "Almagestu" (Matematiké syntaxis), změřil Eratosthenés tuto významnou hodnotu jako 2ε = (11/83) obvodu kruhu (což dá ε = 23º51'; moderní hodnota je ε = 23º43').

Z užití moderní rekonstrukce skiotheronu (obr. 4) vyplynulo, že přesnost pozorování, se započtením vlivu systematických přístrojových chyb, se podobá přesnosti moderního sextantu, tedy něco málo obloukových minut. Navíc budou systematické chyby přibližně stejné pro určení zeměpisné šířky týmž přístrojem, tedy vymizí, pro rozdíl potřebný pro stupňová měření. Měl tedy Eratosthenés po ruce postup i nástroje pro získání přesného výsledku určení obvodu Země. Jeho velice pěkný výsledek není případem náhodné shody, jak se často v moderní době prohlašovalo, ale solidní metody a velice pečlivého měření. Před obdobím družicové geodezie bylo stupňové měření velice nákladným úkolem. Naskýtá se tedy otázka, proč jí alexandrijští vůbec podnikli. Ale to bylo z velice praktických důvodů. Eratosthenés (nebo knihovna) získala od Patrokla, seleuckého generála, veškeré informace o Asii, které shromáždil Alexandr Veliký, to znamená získal od Baitona a Diogneta, kteří byli "mensores regios Alexandrios". A zejména na základě těchto údajů nakreslil Eratosthenés mapu "oikumené", která se stala ve starověku velice slavnou. Ale pro tento účel potřeboval především znát zemský obvod co možná nejpřesněji. Dobře víme, že Eratosthenés publikoval zprávu, a to bezpochyby po intenzivních studiích na dané téma, jak rozměry Země měřit. To se stalo pravděpodobně před započetím samotného měření. A není na dobrých výsledcích nic záhadné; byla to práce profesionála, stejně jako v moderní době. A také není nic záhadného na finanční a technické pomoci jeho podpůrce krále Ptolemea: dobrých map "oikumené" bylo třeba pro vojenské účely, obchodní účely atd. v minulosti stejně jako dnes.

Při užití technologie skiotheronu pro astronomicko-geodetická pozorování se jedna otázka váže na topocentrickou paralaxu, to je u rozdílu dvou směrů z topografického středu a středu hmoty Slunce. Topocentrická paralaxa Měsíce je podstatně větší, přibližně jeden obloukový stupeň. Jak velká byla topocentrická paralaxa Slunce, to byla pro přesná pozorování podstatná otázka! Abychom mohli započítat topocentrickou paralaxu Slunce, musíme znát nebo případně určit vzdálenost Země-Slunce, takzvanou "astronomickou jednotku".

Jak předal z dávných časů slavný fyzik a učenec Galenus z Pergamonu, Eratosthenés vzal překvapivě dobrý odhad za astronomickou jednotku (AU = 804 miliónu stadií = 130 miliónů km) za astronomickou jednotku (AU = 150 000 000 km). Odhlédneme-li pro okamžik od otázky o metodě, jíž Eratosthenés užil, aby získal tak dobrý výsledek, a porozhlédněme se po důsledcích vzniklých tímto zvláštním číslem. Protože úhlový poloměr Slunce je přibližně půl stupně, a to se vědělo velmi dobře, změřil to např. Archimedes ze Syrakus, bylo možno snadno odhadnout rozměry Slunce, a tato hodnota byla tehdy mimořádně veliká. Pokud by se poloměr Země zvolil 1 cm, pak by byl poloměr Slunce 1 metr a vzdálenost Země-Slunce okolo 100 metrů. Pak tu zbývají dvě možnosti, jak vysvětlit tyto "phainomenae".

Buď se ohromné Slunce otáčí okolo malé Země s fantastickou rychlostí za jeden den (geocentrická hypotéza), nebo se malá Země otáčí okolo velikého Slunce s mírnou rychlostí jednou za rok (heliocentrická hypotéza). To ponechalo pochopitelně Eratosthenovi z mechanického hlediska jedinou rozumnou volbu. A proto nám jediné číslo odhaluje toto: Eratosthenés byl následovníkem svého učitele Aristarcha ze Sámu. Jaký byl pak osud heliocentrického pojetí ve starověku, to je otázka!

Práce Eratosthenova nezanechává žádných pochyb: helénští učenci v Alexandrii založili svou práci na velice přesných pozorováních a na komplexních modelech aplikované matematiky a geometrie. Proto údaje zachované ze starých dob nám mohou sdělit mnohem více o úrovni přírodních věd za hélénské epochy, než se obecně předpokládá moderními vědci, například Neugebauerem.

Lelgemann, D. (2001): Eratosthenes von Kyrene und die Meßtechnik der alten Kulturen. ISBN 3-87124-260-8, Chmielorz, Wiesbaden.

Knobloch, E.; Lelgemann, D.; Fuchs, A. (2003): Zur hellenistischen Methode der Bestimmung des Erdumfanges und zur Asienkarte des Klaudios Ptolemaios. ZfV., sv.2, Wißner, Augsburg.

Stevenson, E. L. (1932): Claudius Ptolemy. The Geography. Translated by E. L. Stevenson. Reprint Dover 1991.

Dieter Lelgemann