Novinky zeměměřické knihovny č. 1/2006

Klíčová slova: polohová přesnost map, zkreslení, Hardyho mulikvadratická metoda

Shrnutí:

Pro určení polohové přesnosti starých map se pokoušíme identifikovat jednotlivé body, jejichž správná poloha je známa. Tak lze počítat různé vektory posunů a z nich pak čáry téhož posunu. Účinným postupem je Hardyho metoda. Její užití se osvětluje na jednom listě díla Petra Anicha „Atlas Tyrolensis“.

1. Zadání úkolu a jeho řešení

Rozbory přesnosti starých map zahrnují především správnost vzájemné polohy význačných míst, tj. měst, kostelů, klášterů, vrcholků hor, mostů aj. Posloužit tu může střední chyba v délkové odlehlosti. Lepším kritériem je střední polohová chyba. Ta vyžaduje geodetické vyrovnání nějaké sítě. Nejlepším řešením je pak znázornění chybových vektorů mapy. Ty spojují v mapě zakreslené polohy bodů s jejich správným umístěním. Pouhý náhled chybových vektorů poskytuje slušný názor o její kvalitě. A nadto umožňuje pomocí těchto vektorů odhalovat hrubé odchylky.

Od 15. století se zakreslovaly na mapách sítě zeměpisných souřadnic nebo rámcové sítě. Je pak zajímavé zjišťovat, jak se takové sítě posunují nebo zkreslují vlivem chybových vektorů. Podobný přístup užil Finsterwalder, R.: (1988), Maßstab und Genauigkeit alter Karten, gezeigt an einigen Kartierungen Bayerns. In: Bayern im Bild der Karte – Cartographia Bavariæ. Verlag Anton H. Conrad).  Tak se má též rozumět pojmu „zkreslení“ v názvu článku — nemá nic společného s Tissotovou teorií.

Samotné vektory zkreslení se nejjednodušeji vytvářejí Hardyho multikvadratickou metodou (Hardy,R.I.: Mutiquadratic Equations of Topography and other Irregular Surfaces. Journal of Geophysical Research, 76 (1971), s.1905-1915).

Multikvadratická metoda ke konstrukci hladkých ploch z nepravidelně rozložených bodů s měřenými údaji (scattered data). Lze ji snadno naprogramovat, vyžaduje však zadání všech dat a jejich současný výpočet, což může u rozsáhlých souborů vést k obtížím co do nároků na paměť, a proto se užívá i jiných postupů s lokálním zpracováním.

Při Hardyho metodě je dána funkční matice C pro daný obor [x, y] daných n bodů

C = (s_i,j),

s_i,j = [(x_i – x_j)² + (y_i – y_j)² + G]^½,                    i, j = 1, … n                           (1)

Výraz G je činitel hlazení. Hlavní přepona C  obsazena nulami by byla obsazena nulami, ale ve skutečnosti na všech jejích prvcích se umisťují hodnoty √G. Interpolační plocha vzniká překrýváním hyperboloidů. Pro  G → 0 přecházejí do kruhových kuželů a na stycích vznikají špičky. Je-li G příliš velké, vytvářejí se na stycích vodorovné tečné roviny (stolové hory). V praxi se osvědčuje činitel hlazení na základě nejmenší vzdálenosti jako

G = 0,6. s²_min                                                                                                                                 (2)

Označíme-li průměrnou hodnotu ze všech daných bodů z_i jako z_m pak redukované hodnoty označíme jako δz_i a vektor opěrných bodů Z bude

Z = [δz_i],          kde δz_i = z_i - z_m                                                                                 (3)

Vektor hledaných interpolačních koeficientů K plyne ze symetrické soustavy lineárních rovnic

CK = Z,                       K = [k_i],                      K = C ^–1Z                                (4)

Interpolace bodu uvnitř příslušného oboru o souřadnicích x, y vyplývá ze vztahu

z = z_m + D^TK                                                                                                 (5)

kde D = [s_i] je interpolační vektor vytvořený ze vzdáleností interpolovaného bodu (x, y) ke všem daným bodům s přihlédnutím k G, tedy

s_i = [(x_i – x)² + (y_i – y)² + G]^½,                      i= 1, … n                                            (6)

V daných bodech má interpolační plocha přesně hodnotu onoho bodu.

Z 19 listů z díla Atlas Tyrolensis byl zvolen list č. 13 z okolí Bolzana o rozloze přibližně 40 km × 56 km s 38 digitalizovanými body. Jejich správné umístění se převzalo z mapy Italského vojenského geografického ústavu 1 : 50 000 v souřadnicích Gauss-Boaga na Hayfordově elipsoidu.

Celkem libovolně se zvolil kvadratický rastr 4 km × 4 km a pak se vykreslily interpolované čáry. Činitel hlazení se zvolil jako G = 0,6.

5. Závěr

Multikvadratický interpolační postup podle Hardyho je jednoduchý a velice účinný prostředek, což vede ke smělé úvaze, že pokud by se takový list z atlasu zobrazil kamerou CCD, bylo by možno jeho digitální snímek uvedenou metodou zkoumat do podrobností snímatelných obrazových prvků (pixlů).